対称式 | xとyを入れ替えても値が変わらない式【数学I】

この記事では、対称式について書いています。

対称式は高校数学の様々な分野を横断して出現しますので、ここで基礎を確実に身につけてください。

目次 [表示]

対称式とは

対称式とは、文字を入れ替えても値が変わらない式のことです。

たとえば...

$x+y\\ xy$

このような式を指します。

当然ですが、これらの式は $x\,$ と $\,y\,$ を入れ替えても値が変わることはありません。

$x+y=y+x\\ xy=yx\,$

特に、この $\,2\,$ つの対称式「 $\,x+y\,$ 」と「 $\,xy\,$ 」には基本対称式という名前がついています。

基本対称式以外の対称式で、主なものを挙げると...

$x^{\,2}+y^{\,2}\\[0.5em] x^{\,3}+y^{\,3}\\[0.5em] \displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}$

これらの式も $\,x\,$ と $\,y\,$ を入れ替えても値が変わらないことは確認できるはずです。

そして、対称式には、とても重要な性質があります。

それは...

すべての対称式は基本対称式で表すことができる

つまり、 $\,x^{\,2}+y^{\,2}\,$ などの基本対称式以外の対称式は、基本対称式 $\,x+y\,$ と $\,xy\,$ を用いて表すことができるということです。

基本対称式以外の対称式を基本対称式で表す

上の例に挙げた $\,3\,$ つの対称式を基本対称式で表すと...

$\begin{eqnarray}x^{\,2}+y^{\,2}&=&\left(x+y\right)^{2}-2xy\\[0.5em] x^{\,3}+y^{\,3}&=&\left(x+y\right)^{3}-3xy\left(x+y\right)\\[0.5em] \displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}&=&\displaystyle\frac{x+y}{xy}\end{eqnarray}$

見ての通り、いずれの式も $\,x+y\,$ と $\,xy\,$ で表せていますよね。

この $\,3\,$ つの式はよく出題されますので、公式のように暗記しておいた方がいいです。

ここで、それぞれの式を $\,1\,$ つずつ確認していきます。

$x^{\,2}+y^{\,2}\,$

$\left(x+y\right)^2\,$ を展開する
　
$\left(x+y\right)^2=x^{\,2}+2xy+y^{\,2}$
　
$2xy\,$ を移項して $\,x^{\,2}+y^{\,2}\,$ をつまみ出す
　
$x^{\,2}+y^{\,2}=\left(x+y\right)^2-2xy$

$x^{\,3}+y^{\,3}\,$

$\left(x+y\right)^3\,$ を展開する
　
$\left(x+y\right)^3=x^{\,3}+3x^{\,2}y+3xy^{2}+y^{\,3}$
　
$3x^{\,2}y+3xy^{2}\,$ を移項して $\,x^{\,3}+y^{\,3}\,$ をつまみ出す
　
$x^{\,3}+y^{\,3}=\left(x+y\right)^2-3x^{\,2}y-3xy^{2}$
　
$-3x^{\,2}y-3xy^{2}\,$ の部分を $\,-3xy\,$ でくくる
　
$x^{\,3}+y^{\,3}=\left(x+y\right)^{3}-3xy\left(x+y\right)$

なお、 $3\,$ 乗の展開が不安な人は、こちらの記事もチェックしてみてください。

3乗の展開と因数分解 | 公式の覚え方【数学I】

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$\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}\,$

通分する
　
$\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}&=&\displaystyle\frac{y}{xy}+\displaystyle\frac{x}{xy}=\displaystyle\frac{x+y}{xy}\end{eqnarray}$

以上の式変形を何度も繰り返しているうちに、自然に暗記しているという状態が理想です。

暗記をしていれば、対称式の問題は楽勝で解けます。