平方根とは何か? | 定義を分かりやすく説明【数学I】

この記事では、平方根の定義について書いています。

平方根は中学数学でも扱いますが、定義を正しく理解できていない人が意外と多いです。

高校生の皆様もここで一度立ち止まって目を通してみてください。

目次

はじめに

平方根とは何か?

定義を確認すると...

\(\,a\,\)の平方根とは、\(2\,\)乗して\(\,a\,\)になる数 である。

平方根は「\(\,2\,\)乗の逆」とよく説明されます。

たしかに、\(2\,\)乗は同じ数を\(\,2\,\)回掛けるだけの単純な操作ですが、突然「その逆を行え」と言われても頭の中が混乱してしまいます。

以下では、その混乱を解消してもらうために...

  • \(2\,\)乗して\(\,4\,\)になる数
  • \(2\,\)乗して\(\,5\,\)になる数

この\(\,2\,\)つの数にスポットを当てて、分かりやすく説明していきます。

2乗して4になる数

2乗して4になる数は?

と聞かれると、平方根をまったく知らなかったとしても、ほとんどの人が「\(\,2\,\)」と答えることができます。

もちろん、これは間違いではありません。

\(2^{\,2}=2\times2=4\)

たしかに、\(2\,\)は\(\,2\,\)乗すると\(\,4\,\)になります。

しかし、\(2\,\)だけではすべてを答えたことにはなりません。

\(2\,\)乗して\(\,4\,\)になる数は、もう\(\,1\,\)つあります。

それは負の数\(\,-2\,\)です。

\((-2)^{2}=(-2)\times(-2)=4\)

マイナスは\(\,2\,\)乗するとプラスになるので、\(\,-2\,\)も\(\,2\,\)乗すると\(\,4\,\)になります。

つまり、\(2\,\)乗して\(\,4\,\)になる数を聞かれたときは、「\(\,2\,\)と\(\,-2\,\)」と答えなければなりません。

ここで、平方根の定義に戻ります。

\(\,a\,\)の平方根とは、\(2\,\)乗して\(\,a\,\)になる数 である。

ならば...

\(4\,\)の平方根とは、\(2\,\)乗して\(\,4\,\)になる数 である。

ということになります。

上で見たように、\(2\,\)乗して\(\,4\,\)になる数は\(\,2\,\)と\(\,-2\,\)です。

これを通例\(\,\pm2\,\)(プラスマイナス\(\,2\,\))と表記します。

よって、\(4\,\)の平方根とは、\(\pm2\,\)です。

2乗して5になる数

2乗して5になる数は?

と聞かれると、平方根の概念を知らなれば、答えることができません。

もしかすると、この問いに「\(\,2.5\,\)」と答える人がいるかもしれませんが、それは間違いです。

\(2.5^{\,2}=2.5\times2.5=6.25\)

\(2.5\,\)は\(\,2\,\)倍すると\(\,5\,\)になりますが、\(2\,\)乗すると\(\,6.25\,\)になります。

したがって、\(2\,\)乗して\(\,5\,\)になる数は\(\,2.5\,\)ではありません。

では、\(2\,\)乗して\(\,5\,\)になる数とは一体何か?

 そんな数はない → だったら、作ればいい!!

こうして生まれたのが、\(\sqrt{5}\,\)(ルート\(\,5\,\))です。

\(\sqrt{5}\,\)は次の式を成り立たせます。

\((\sqrt{5})^{2}=\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\)

厳密に言うと、\(\sqrt{5}\,\)は\(\,2\,\)乗して\(\,5\,\)になる正の数です。

もちろん、\(2\,\)乗して\(\,5\,\)になる数にも負の数は存在します。

それが\(-\sqrt{5}\,\)です。

\((-\sqrt{5})^{2}=(-\sqrt{5})\times(-\sqrt{5})=5\)

つまり、\(2\,\)乗して\(\,5\,\)になる数は\(\,\sqrt{5}\,\)と\(\,-\sqrt{5}\,\)です。

これも通例\(\,\pm\sqrt{5}\,\)と表記します。

よって、\(5\,\)の平方根とは、\(\pm\sqrt{5}\,\)です。

念のため、\(\sqrt{ }\)(根号)に関する定義も確認しておきます。

\(\sqrt{a}\,\)とは、\(2\,\)乗して\(\,a\,\)になる正の数 である。
\((\sqrt{a})^{2}=a\)
 
\(-\sqrt{a}\,\)とは、\(2\,\)乗して\(\,a\,\)になる負の数 である。
\((-\sqrt{a})^{2}=a\)

基本問題

それでは、ここまで書いたことを以下の基本問題を通して確認していきます。

(問)1 次の数の平方根を答えよ。
(1) \(25\)  (2) \(7\)
 
(問)2 次の数を根号を用いずに表せ。
(3) \(\sqrt{4}\)  (4) \(-\sqrt{16}\)

(1) \(25\,\)の平方根

\(25\,\)の平方根とは、\(2\,\)乗して\(\,25\,\)になる数 でしたね。

\(2\,\)乗して\(\,25\,\)になる数は、正の数\(\,5\,\)と負の数\(\,-5\,\)です。

よって、答えは \(\pm5\)

補足になりますが、このタイプの問題を解くには、整数を\(\,2\,\)乗してできる数(平方数)をある程度記憶しておかなければなりません

以下に平方数をまとめておきます。

\(\begin{eqnarray}0^{\,2}&=&0 ~~~ & ~~~ 10^{\,2}&=&100\\
1^{\,2}&=&1 ~~~ & ~~~ 11^{\,2}&=&121\\
2^{\,2}&=&4 ~~~ & ~~~ 12^{\,2}&=&144\\
3^{\,2}&=&9 ~~~ & ~~~ 13^{\,2}&=&169\\
4^{\,2}&=&16 ~~~ & ~~~ 14^{\,2}&=&196\\
5^{\,2}&=&25 ~~~ & ~~~ 15^{\,2}&=&225\\
6^{\,2}&=&36 ~~~ & ~~~ 16^{\,2}&=&256\\
7^{\,2}&=&49 ~~~ & ~~~ 17^{\,2}&=&289\\
8^{\,2}&=&64 ~~~ & ~~~ 18^{\,2}&=&324\\
9^{\,2}&=&81 ~~~ & ~~~ 19^{\,2}&=&361\end{eqnarray}\)

(2) \(7\,\)の平方根

\(7\,\)の平方根とは、\(2\,\)乗して\(\,7\,\)になる数 でしたね。

\(2\,\)乗して\(\,7\,\)になる数は、正の数\(\,\sqrt{7}\,\)と負の数\(\,-\sqrt{7}\,\)です。

よって、答えは \(\pm\sqrt{7}\)

(3) \(\sqrt{4}\)

\(\sqrt{4}\,\)とは、\(2\,\)乗して\(\,4\,\)になる正の数 でしたね。

よって、答えは \(2\) ※ \(\pm2\)と答えると間違いです。

(4) \(-\sqrt{16}\)

\(-\sqrt{16}\,\)とは、\(2\,\)乗して\(\,16\,\)になる負の数 でしたね。

よって、答えは \(-4\)

なお、(3)や(4)の問題のように、根号を用いずに表せる数は根号を用いないのが原則です。

まとめ

\(\,a\,\)の平方根とは、\(2\,\)乗して\(\,a\,\)になる

\(\sqrt{a}\,\)とは、\(2\,\)乗して\(\,a\,\)になる正の数
\(-\sqrt{a}\,\)とは、\(2\,\)乗して\(\,a\,\)になる負の数

以上が平方根の定義です。

意味を正しく理解しておいてください。