この記事では、3乗の展開と因数分解について書いています。
目次
はじめに
早速ですが、公式を示します。
\(3\,\)乗の展開公式
- \(\left(x+y\right)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\)
- \(\left(x-y\right)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\)
- \(\left(x+y\right)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)=x^{3}+y^{3}\)
- \(\left(x-y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)=x^{3}-y^{3}\)
\(3\,\)乗の因数分解公式
- \(x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}=\left(x+y\right)^{3}\)
- \(x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}=\left(x-y\right)^{3}\)
- \(x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)\)
- \(x^{3}-y^{3}=\left(x-y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)\)
これを初めて見た人の大半が...
そう感じるでしょう。
そこで、以下では公式の覚え方を示し、皆様の暗記のお手伝いをしたいと思います。
「公式の覚え方」とは言っても、決して語呂合わせのようなものではありません。
あくまでも正統な覚え方です。
3乗の展開
- \(\left(x+y\right)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\)
- \(\left(x-y\right)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\)
- \(\left(x+y\right)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)=x^{3}+y^{3}\)
- \(\left(x-y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)=x^{3}-y^{3}\)
特に、公式1と公式2は立方公式と呼ばれます。
公式1について
\(\left(\color{red}{x}+\color{blue}{y}\right)^{\,\underline{3}}\)
- 赤：\(3\,\)乗→\(\,2\,\)乗→\(\,1\,\)乗→\(\,0\,\)乗
青：\(0\,\)乗→\(\,1\,\)乗→\(\,2\,\)乗→\(\,3\,\)乗 - 真ん中の\(\,2\,\)つに配置するキラーナンバーは\(\,3\,\)
(「\(3\,\)乗だから\(\,3\,\)」で覚えやすいはずです)
\(=\color{red}{x^{3}}\cdot \color{blue}{y^{0}}+\underline{3}\cdot \color{red}{x^{2}}\cdot \color{blue}{y^{1}}+\underline{3}\cdot \color{red}{x^{1}}\cdot \color{blue}{y^{2}}+\color{red}{x^{0}}\cdot \color{blue}{y^{3}}\)
\(=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\)
これは「公式の覚え方」であって、「公式の証明」ではありませんので、そこはお間違えなく。
公式2について
\(\left(x-y\right)^{3}=\left\{x+\left(-y\right)\right\}^{3}\,\)としてしまえば、覚え方は公式1とまったく同じです。
\(\left(x-y\right)^{3}\\
=\left\{\color{red}{x}+\left(\color{blue}{-y}\right)\right\}^{\,\underline{3}}\)
- 赤：\(3\,\)乗→\(\,2\,\)乗→\(\,1\,\)乗→\(\,0\,\)乗
青：\(0\,\)乗→\(\,1\,\)乗→\(\,2\,\)乗→\(\,3\,\)乗 - 真ん中の\(\,2\,\)つに配置するキラーナンバーは\(\,3\,\)
\(=\color{red}{x^{3}}\cdot\color{blue}{\left(-y\right)^{0}}+\underline{3}\cdot \color{red}{x^{2}}\cdot\color{blue}{\left(-y\right)^{1}}+\underline{3}\cdot \color{red}{x^{1}}\cdot\color{blue}{\left(-y\right)^{2}}+\color{red}{x^{0}}\cdot\color{blue}{\left(-y\right)^{3}}\)
\(=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\)
このように考えれば、どこにマイナスがつくのかはすぐに分かるはずです。
公式を忘れた場合
もし、公式を忘れてしまった場合は...
\(\left(x+y\right)^{3}=\left(x+y\right)^{2}\left(x+y\right)\)
\(\left(x-y\right)^{3}=\left(x-y\right)^{2}\left(x-y\right)\)
このように、\(3\,\)乗を「\(\,2\,\)乗\(\,\times\,\)\(1\,\)乗」に分解し、\(\,2\,\)乗の部分を平方公式で展開します。
\(\left(x+y\right)^{3}=\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)\left(x+y\right)\)
\(\left(x-y\right)^{3}=\left(x^{2}-2xy+y^{2}\right)\left(x-y\right)\)
あとは分配法則を利用して\(\,1\,\)つずつ展開し、式を整理すればよいだけです。
一連の操作をまとめると...
\(\left(x+y\right)^{3}\\
=\left(x+y\right)^{2}\left(x+y\right)\\
=\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)\left(x+y\right)\\
=x^{2}\left(x+y\right)+2xy\left(x+y\right)+y^{2}\left(x+y\right)\\
=x^{3}+x^{2}y+2x^{2}y+2xy^{2}+xy^{2}+y^{3}\\
=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\)
\(\left(x-y\right)^{3}\\
=\left(x-y\right)^{2}\left(x-y\right)\\
=\left(x^{2}-2xy+y^{2}\right)\left(x-y\right)\\
=x^{2}\left(x-y\right)-2xy\left(x-y\right)+y^{2}\left(x-y\right)\\
=x^{3}-x^{2}y-2x^{2}y+2xy^{2}+xy^{2}-y^{3}\\
=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\)
少しめんどくさいですが、公式は導けましたね。
さて、公式は\(\,4\,\)つありますが、公式1と公式2だけを「\(\,3\,\)乗の展開公式」として覚えておくのが担当者のおすすめです。
逆に、公式3と公式4は「\(\,3\,\)乗の因数分解公式」として暗記します。
展開の公式と因数分解の因数は左辺と右辺を入れ替えただけなので、どちらか片方を覚えておけば問題ないはずです。
3乗の因数分解
- \(x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}=\left(x+y\right)^{3}\)
- \(x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}=\left(x-y\right)^{3}\)
- \(x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)\)
- \(x^{3}-y^{3}=\left(x-y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)\)
公式1と公式2は展開公式で確認しましたので、ここでは公式3と公式4のみ扱います。
公式3について
\(3\,\)乗の因数分解は次の\(\,3\,\)つの手順で処理します。
- \(3\,\)乗を外す
\(\color{red}{x^{3}}+\color{blue}{y^{3}}=\left(\color{red}{x}+\color{blue}{y}\right)\,\cdots\)
- 外したものを\(\,2\,\)乗する
\(x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)\left(\color{red}{x^{2}} \,\cdots+\color{blue}{y^{2}}\right)\)
- 外したもの同士を掛けてマイナスをつける
\(x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)\left(x^{2}-\color{red}{x}\color{blue}{y}+y^{2}\right)\)
これも「公式の覚え方」であって、「公式の証明」ではありませんので、お間違えなく。
公式4について
\(x^{3}-y^{3}=x^{3}+\left(-y\right)^{3}\,\)としてしまえば、手順は公式3とまったく同じです。
- \(3\,\)乗を外す
\(\begin{eqnarray}x^{3}-y^{3}&=&\color{red}{x^{3}}+\color{blue}{\left(-y\right)^{3}}\\
&=&\left\{\color{red}{x}+\left(\color{blue}{-y}\right)\right\}\,\cdots\\
&=&\left(\color{red}{x}\color{blue}{-y}\right)\,\cdots\end{eqnarray}\)
- 外したものを\(\,2\,\)乗する
\(\begin{eqnarray}x^{3}-y^{3}
&=&\left(x-y\right)\left\{\color{red}{x^{2}} \,\cdots+\color{blue}{\left(-y\right)^{2}}\right\}\\
&=&\left(x-y\right)\left(\color{red}{x^{2}} \,\cdots+\color{blue}{y^{2}}\right)\end{eqnarray}\)
- 外したもの同士を掛けてマイナスをつける
\(\begin{eqnarray}x^{3}-y^{3}&=&\left(x-y\right)\left\{x^{2}-\color{red}{x}\cdot\left(\color{blue}{-y}\right)+y^{2}\right\}\\
&=&\left(x-y\right)\left(x^{2}+\color{red}{x}\color{blue}{y}+y^{2}\right)\end{eqnarray}\)
マイナスが絡むところは符号に気をつけてくださいね。
まとめ
\(3\,\)乗の展開公式
- \(\left(x+y\right)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\)
- \(\left(x-y\right)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\)
- \(\left(x+y\right)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)=x^{3}+y^{3}\)
- \(\left(x-y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)=x^{3}-y^{3}\)\(\\[1.5em]\)
\(3\,\)乗の因数分解公式
- \(x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}=\left(x+y\right)^{3}\)
- \(x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}=\left(x-y\right)^{3}\)
- \(x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)\)
- \(x^{3}-y^{3}=\left(x-y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)\)\(\\[1.5em]\)
以上が\(\,3\,\)乗の展開公式と因数分解公式です。
この記事の覚え方を通じて確実に暗記してください。