平方根とは何か？ | 定義を分かりやすく説明【数学I】

この記事では、平方根の定義について書いています。

平方根は中学数学でも扱いますが、定義を正しく理解できていない人が意外と多いです。

高校生の皆様もここで一度立ち止まって目を通してみてください。

目次 [表示]

はじめに

平方根とは何か？

定義を確認すると...

$\,a\,$ の平方根とは、

$2\,$ 乗して

$\,a\,$ になる数である。

平方根は「 $\,2\,$ 乗の逆」とよく説明されます。

たしかに、 $2\,$ 乗は同じ数を $\,2\,$ 回掛けるだけの単純な操作ですが、突然「その逆を行え」と言われても頭の中が混乱してしまいます。

以下では、その混乱を解消してもらうために...

$2\,$ 乗して $\,4\,$ になる数
$2\,$ 乗して $\,5\,$ になる数

この $\,2\,$ つの数にスポットを当てて、分かりやすく説明していきます。

2乗して4になる数

2乗して4になる数は？

と聞かれると、平方根をまったく知らなかったとしても、ほとんどの人が「 $\,2\,$ 」と答えることができます。

もちろん、これは間違いではありません。

$2^{\,2}=2\times2=4$

たしかに、 $2\,$ は $\,2\,$ 乗すると $\,4\,$ になります。

しかし、 $2\,$ だけではすべてを答えたことにはなりません。

$2\,$ 乗して $\,4\,$ になる数は、もう $\,1\,$ つあります。

それは $\,-2\,$ です。

$(-2)^{2}=(-2)\times(-2)=4$

は $\,2\,$ 乗するとになるので、 $\,-2\,$ も $\,2\,$ 乗すると $\,4\,$ になります。

つまり、 $2\,$ 乗して $\,4\,$ になる数を聞かれたときは、「 $\,2\,$ と $\,-2\,$ 」と答えなければなりません。

ここで、平方根の定義に戻ります。

$\,a\,$ の平方根とは、

$2\,$ 乗して

$\,a\,$ になる数である。

ならば...

$4\,$ の平方根とは、

$2\,$ 乗して

$\,4\,$ になる数である。

ということになります。

上で見たように、 $2\,$ 乗して $\,4\,$ になる数は $\,2\,$ と $\,-2\,$ です。

これを通例 $\,\pm2\,$ (プラスマイナス $\,2\,$ )と表記します。

よって、 $4\,$ の平方根とは、 $\pm2\,$ です。

2乗して5になる数

2乗して5になる数は？

と聞かれると、平方根の概念を知らなれば、答えることができません。

もしかすると、この問いに「 $\,2.5\,$ 」と答える人がいるかもしれませんが、それは間違いです。

$2.5^{\,2}=2.5\times2.5=6.25$

$2.5\,$ は $\,2\,$ 倍すると $\,5\,$ になりますが、 $2\,$ 乗すると $\,6.25\,$ になります。

したがって、 $2\,$ 乗して $\,5\,$ になる数は $\,2.5\,$ ではありません。

では、 $2\,$ 乗して $\,5\,$ になる数とは一体何か？

　そんな数はない → だったら、作ればいい!!

こうして生まれたのが、 $\sqrt{5}\,$ (ルート $\,5\,$ )です。

$\sqrt{5}\,$ は次の式を成り立たせます。

$(\sqrt{5})^{2}=\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5$

厳密に言うと、 $\sqrt{5}\,$ は $\,2\,$ 乗して $\,5\,$ になる正の数です。

もちろん、 $2\,$ 乗して $\,5\,$ になる数にも負の数は存在します。

それが $-\sqrt{5}\,$ です。

$(-\sqrt{5})^{2}=(-\sqrt{5})\times(-\sqrt{5})=5$

つまり、 $2\,$ 乗して $\,5\,$ になる数は $\,\sqrt{5}\,$ と $\,-\sqrt{5}\,$ です。

これも通例 $\,\pm\sqrt{5}\,$ と表記します。

よって、 $5\,$ の平方根とは、 $\pm\sqrt{5}\,$ です。

念のため、 $\sqrt{　}$ (根号)に関する定義も確認しておきます。

$\sqrt{a}\,$ とは、

$2\,$ 乗して

$\,a\,$ になる正の数である。

$(\sqrt{a})^{2}=a$

$-\sqrt{a}\,$ とは、

$2\,$ 乗して

$\,a\,$ になる負の数である。

$(-\sqrt{a})^{2}=a$

基本問題

それでは、ここまで書いたことを以下の基本問題を通して確認していきます。

(問)1 次の数の平方根を答えよ。
(1)　

$25$ 　　(2)　

$7$
　
(問)2 次の数を根号を用いずに表せ。
(3)　

$\sqrt{4}$ 　　(4)　

$-\sqrt{16}$

(1)　 $25\,$ の平方根

$25\,$ の平方根とは、 $2\,$ 乗して $\,25\,$ になる数でしたね。

$2\,$ 乗して $\,25\,$ になる数は、正の数 $\,5\,$ と負の数 $\,-5\,$ です。

よって、答えは $\pm5$

補足になりますが、このタイプの問題を解くには、整数を $\,2\,$ 乗してできる数(平方数)をある程度記憶しておかなければなりません。

以下に平方数をまとめておきます。

$\begin{eqnarray}0^{\,2}&=&0 ~~~ & ~~~ 10^{\,2}&=&100\\ 1^{\,2}&=&1 ~~~ & ~~~ 11^{\,2}&=&121\\ 2^{\,2}&=&4 ~~~ & ~~~ 12^{\,2}&=&144\\ 3^{\,2}&=&9 ~~~ & ~~~ 13^{\,2}&=&169\\ 4^{\,2}&=&16 ~~~ & ~~~ 14^{\,2}&=&196\\ 5^{\,2}&=&25 ~~~ & ~~~ 15^{\,2}&=&225\\ 6^{\,2}&=&36 ~~~ & ~~~ 16^{\,2}&=&256\\ 7^{\,2}&=&49 ~~~ & ~~~ 17^{\,2}&=&289\\ 8^{\,2}&=&64 ~~~ & ~~~ 18^{\,2}&=&324\\ 9^{\,2}&=&81 ~~~ & ~~~ 19^{\,2}&=&361\end{eqnarray}$

(2)　 $7\,$ の平方根

$7\,$ の平方根とは、 $2\,$ 乗して $\,7\,$ になる数でしたね。

$2\,$ 乗して $\,7\,$ になる数は、正の数 $\,\sqrt{7}\,$ と負の数 $\,-\sqrt{7}\,$ です。

よって、答えは $\pm\sqrt{7}$

(3)　 $\sqrt{4}$

$\sqrt{4}\,$ とは、 $2\,$ 乗して $\,4\,$ になる正の数でしたね。

よって、答えは $2$ 　※ $\pm2$ と答えると間違いです。

(4)　 $-\sqrt{16}$

$-\sqrt{16}\,$ とは、 $2\,$ 乗して $\,16\,$ になる負の数でしたね。

よって、答えは $-4$

なお、(3)や(4)の問題のように、根号を用いずに表せる数は根号を用いないのが原則です。